Matemática egipcia

MATHEMATICS IN ANCIENT EGYPT

A CONTEXTUAL HISTORY

Annette Imhausen

Princeton University Press, 2016

Desde hace más de dos siglos, Egipto viene ejerciendo una poderosa fascinación sobre el mundo de las artes y las letras. Menos conocida es la pasión que despierta entre los científicos, por ejemplo, el estudio de las momias y su interés en genética humana. Hace un año, el equipo dirigido por Frank Rühli, de la Universidad de Zúrich, se anotaba un éxito importante al corroborar la sospechada endogamia de los faraones.

Egipto y Mesopotamia fueron las culturas iniciadoras de refinados sistemas matemáticos. La aritmética mesopotámica se basaba en el sistema numérico sexagesimal. El egipcio constituía un sistema decimal sin notación posicional, que utilizaba símbolos propios para cada potencia de 10. Las primeras publicaciones sobre la matemática del Egipto faraónico surgieron en la segunda mitad del siglo XIX, a raíz de la adquisición por el Museo Británico del papiro de Rhind y su posterior estudio. Tras la publicación en 1877 del papiro de Rhind (tuvo otras dos ediciones, en 1923 y 1927), se editaron en 1898 importantes textos matemáticos de los papiros de Lahun; en 1900 y 1902, fragmentos del papiro de Berlín 6619; y, en 1930, el papiro de Moscú. Debemos a Otto Neugebauer y Kurt Vogel monografías notables sobre el cálculo de fracciones egipcio. Han despertado también el interés de los matemáticos el cálculo del área del círculo, el del volumen de una pirámide truncada y el método de solución de un grupo de problemas (similar a nuestras ecuaciones algebraicas).

Basándose en textos, proyectos y dibujos de arquitectura, documentos administrativos y otras fuentes, Imhausen pasa revista a tres mil años de historia egipcia y ofrece un cuadro integrado de la matemática teórica y de su aplicación a la vida diaria. El libro se escalona en períodos sucesivos: prehistórico y protodinástico, Reino Antiguo, Reino Medio, Reino Nuevo y período greco-romano.

El período prehistórico y protodinástico abarca el tiempo de transición desde una sociedad disgregada en múltiples asentamientos hacia un estado unificado, con un gobierno central y bajo la administración de un rey. Sus sedes principales estuvieron en Maadi y Buto, en el Bajo Egipto, y en Badari y Naqada, en el Alto Egipto. La cultura meridional dominó sobre la septentrional y encabezó la unificación del nuevo Estado; las primeras fuentes escritas surgieron en ese tiempo. Las pruebas de la invención de la escritura —y de la notación numérica— se vinculan a Abydos y a su cementerio de Umm al-Qaab, unos 500 kilómetros al sur de El Cairo. Entre las tumbas de las élites predinásticas, la tumba U-j (asignada al rey Escorpión, en torno al 3200 a.C.) ocupa un lugar significativo: en su interior se descubrió la prueba más antigua de escritura jeroglífica [véase «El nacimiento de la escritura en Egipto», por Gwenola Graff; Investigación y Ciencia, marzo de 2014]. Se utilizaron marcas simbólicas y sellos reales para identificar bienes y, con ello, agilizar la administración. La utilidad de un sistema numérico en ese contexto era obvia.

Durante el Reino Antiguo (entre 2686 y 2160 a.C.), Egipto disfrutó de su primera época de esplendor. Arte, arquitectura y creación literaria brillaron apuntaladas por la estabilidad económica y política. Destaca de ese tiempo la imponente pirámide del rey Djoser (2667-2648 a.C.). No han sobrevivido textos. La metrología facilitaba el control cuantitativo de los recursos. Algunas unidades de medida permanecieron a lo largo de toda la historia de Egipto, otras cambiaron o desaparecieron. Las había vinculadas a un tipo específico de objetos, lo que suponía, por ejemplo, la existencia de diversas medidas de volumen según el contenido fuera grano, líquido o material de construcción. En el Reino Antiguo, la unidad de longitud básica era el codo, que venía a valer unos 52,5 centímetros; la unidad de capacidad, hqɜ.t, equivalía a unos 4,8litros; y la de peso, dbn, equivalía a unos 13,6 gramos.

Hasta el Reino Medio (2055-1650 a.C.) no aparecen textos matemáticos, y aun entonces no llegan a la decena. Carecemos de información escrita sobre cómo llevaban a cabo las operaciones de adición y sustracción; las multiplicaciones y divisiones se disponían en dos columnas. Recurrían a varias técnicas para multiplicar y dividir. Si intervenían fracciones, el cálculo se hacía más complicado, precisando a menudo el uso de tablas, algunas de las cuales se han conservado. El papiro de Rhind consta de dos piezas, contiene 64 problemas y varias tablas. Merecen reseñarse también los fragmentos matemáticos de Lahun, el papiro matemático de Berlín, las tablillas de El Cairo, el Rollo de Cuero Matemático y el papiro matemático de Moscú. Este último contiene 38 columnas de texto y nueve pequeños fragmentos, presenta 25 problemas e incluye los dos problemas más intrigantes de la matemática egipcia: el cálculo del volumen de una pirámide truncada y lo que parece ser el cálculo de la superficie de una semiesfera o de la superficie de un semicilindro.

Del Reino Nuevo (1550-1069) no han sobrevivido apenas textos matemáticos, pese a que la mayoría de los faraones famosos gobernaron durante ese intervalo. Las inscripciones monumentales, en cambio, permiten pintar un cuadro bastante preciso de la situación. Con la expansión del uso de los óstraka como soporte económico de escritura, descubrimos el día a día de la población. El país, unido, alcanza su tercera época de esplendor cultural, merced sobre todo al impulso dado por Akhenatón, promotor del culto al dios Atón y que trasladó la capitalidad de Tebas a Tel el-Amarna. Pero, salvo dos óstraka fragmentarios, no nos han llegado textos matemáticos.

Pervive, en cambio, una importante remesa de textos matemáticos del período greco-romano (332 a.C-395 d.C). Por la lengua empleada se conocen como textos matemáticos demóticos, y constituyen los textos matemáticos finales disponibles del Egipto clásico. El papiro de El Cairo, el más extenso, consta de 11 piezas y contiene 40 problemas. Le sigue en extensión el papiro BM 10399, cuya parte publicada contiene 12 problemas, cuatro de ellos relativos al volumen de una estructura en forma de cono y seis a la resolución de fracciones.

De las cuestiones pasadas por alto en el libro de Imhausen, algunas parecen apremiantes: por ejemplo, si el comercio egipcio ejerció alguna influencia en el desarrollo de la matemática; cuál es la geometría que se esconde tras sus diques y canales; y la posibilidad de que los antiguos egipcios usasen de técnicas de «cálculo de sombras» en astronomía y agrimensura.