Teoría de la medida

La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las medidas, funciones mediblese integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.

En matemática, una medida es una función que asigna un número real positivo o cero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad.

A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjunto base se revela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos, asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra.

Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no se restrinjan a los reales no negativos y el infinito. Por ejemplo, una función de conjunto numerable aditiva con valores en los números reales (con signo) se llama medida con signo, mientras que tal tipo de función con valores en los números complejos se llama medida compleja. Una medida que tome valores en un espacio de Banach se llama medida espectral; son usadas a menudo en análisis funcional en el teorema espectral. Para distinguir las medidas usuales, con valores positivos, de las generalizaciones, se habla de medidas positivas.

Otra generalización es la medida finitamente aditiva. Es igual que una medida, salvo que en lugar de requerir aditividad contable, sólo se necesita aditividad finita. Históricamente, esta definición se usó inicialmente, pero no resultó ser tan útil. En general, las medidas finitamente aditivas están conectadas con nociones como los límites de Banach, el dual de L∞, y la compactificación de Stone-Čech. Todas éstas están conectadas de alguna forma con el axioma de elección.

El interesante resultado en geometría integral conocido como teorema de Hadwiger establece que el espacio de funciones de conjunto invariantes por translaciones, finitamente aditivas, no necesariamente no negativas definidas sobre las uniones finitas de conjuntos compactos y convexos en Rn consiste (salvo múltiplos escalares) en una "medida" que es "homogénea de grado k" para cada k = 0, 1, 2, ..., n, y combinaciones lineales de esas "medidas". "Homogénea de grado k" significa que "re-escalar" cualquier conjunto por un factor c > 0 multiplica la "medida" del conjunto por un factor ck. La que es homogénea de grado n es el volumen ordinario n-dimensional. La homogénea de grado n-1 es el "volumen de superficie". La homogénea de grado 1 es una función misteriosa llamada "anchura media" (en inglés, "mean width"), un mal nombre. La homogénea de grado 0 es la característica de Euler.